Metodo de Interpolacion de Lagrange
Es un método de Mnumerico utilizado para encontrar una funcion que pase exactamente por un conjunto
de puntos dados. Se usa para estimar valores intermedios en un conjunto de datos discretos.
El principio basico es construir una funcion \(f(x)\) que pase por los puntos \((x_0,y_0)\),
\((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), ..., \((x_n,y_n)\) , de tal manera que para cada \(i\) se cumpla
\(f(x_i)=y_i\)
.
Permite encontrar un polinomio de \(P(x)\) de grado \(n\) que pase por \(n+1\) puntos. Se bassa en
la construccion de polinomios base \(L_i(x)\) que tienen la propiedad de ser 1 en \(x_i\) y 0 en el
resto de puntos.
Formula que lo define
$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$
Donde los polinomios \(L_i(x)\) se calculan como:
$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$
Antecedentes y Relación con Otros Métodos
El método de interpolación de Lagrange tiene sus raíces en el desarrollo del cálculo numérico y la
aproximación de funciones. Fue propuesto por el matemático francés Joseph-Louis Lagrange en el siglo
XVIII, específicamente en 1795, como parte de sus investigaciones en álgebra y análisis. El método
fue diseñado para encontrar un polinomio único que pase por un conjunto dado de puntos en un plano
cartesiano.
Aplicaciones
La interpolación de Lagrange tiene aplicaciones en una amplia variedad de campos donde se requiere
aproximar funciones basándose en un conjunto limitado de datos. En ciencias de la computación, se
utiliza para diseñar algoritmos que permiten la reconstrucción de señales digitales y la compresión de
datos. En ingeniería, este método es clave para modelar sistemas físicos y obtener valores intermedios
entre mediciones experimentales.
