Metodo de Jacobi
El método de Jacobi es un procedimiento iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales,
especialmente aquellos en los que la matriz de coeficientes es diagonalmente dominante. Consiste en
descomponer el sistema en ecuaciones individuales, aislando cada variable en términos de las demás,
y utilizando aproximaciones iniciales para calcular iterativamente nuevos valores de las variables
hasta que converjan a la solución deseada. Este método se caracteriza por calcular todos los valores
nuevos de forma simultánea en cada iteración, manteniendo las aproximaciones antiguas hasta
completar el ciclo.
Metodo de Gauss-Seidel
El método de Gauss-Seidel es una variante del método de Jacobi que también se utiliza para resolver
sistemas de ecuaciones lineales de forma iterativa. La principal diferencia es que en Gauss-Seidel,
los valores de las variables se actualizan a medida que se calculan dentro de la misma iteración, lo
que generalmente acelera la convergencia en comparación con Jacobi. Este método también es más
efectivo cuando la matriz de coeficientes es diagonalmente dominante y, como resultado, tiende a ser
más eficiente en términos de cálculos.
Formulas que los definen
Método de Jacobi:
$$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1, j \neq i}^{n} a_{ij} x_j^{(k)} \right)$$
Método de Gauss-Seidel:
$$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j^{(k)} \right)$$
Antecedentes y Relación con Otros Métodos
Fue desarrollado por Rene Mario Montante Pardo, profesor en FIME. Se basa en la eliminacion de
Gauss-Jordan
pero evita eliminaciones intermedias para trabajar con enteros.
Aplicaciones
Se ha aplicado en computacion debido a su eficiencia y a que evita errores de redondeo al operar
solamente con numeros enteros.
