El método de Gauss es un algoritmo del álgebra lineal para determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Consiste en la reducción de la matriz de coeficientes a una matriz triangular superior mediante operaciones elementales de fila. Posteriormente, se resuelve el sistema de ecuaciones mediante sustitución hacia atrás.
El metodo de Gauss-Jordan es una extension del metodo de Gauss que consiste en reducir la matriz de coeficientes a una matriz identidad. Para ello, se concatenan la matriz de coeficientes y la matriz identidad y se realizan operaciones elementales de fila hasta obtener la matriz identidad en el lado izquierdo.
Dado el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$
Su forma matricial es: $$AX=B$$ donde A es la matriz de coeficientes, X es el vector de incógnitas y B es el vector de terminos independientes.
La matriz aumentada [A|B] se contruye uniendo la matriz de coeficientes A con el vector de terminos independientes B. $$\left[\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right]$$
La matriz triangular superior del sistema es: $$\left[\begin{array}{cccc|c} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n}& r_1 \\ 0 & u_{22} & \cdots & u_{2n}& r_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & u_{nn}& r_m \end{array}\right]$$
La matriz aumentada del sistema de ecuaciones es: $$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \cdots & 0 & r_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & r_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & r_m \end{array}\right]$$
l método de Gauss, también conocido como eliminación gaussiana, se utiliza principalmente en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, análisis estructural en ingeniería civil y mecánica, cálculos de redes eléctricas, optimización y programación lineal, y simulaciones numéricas. Por otro lado, el método de Gauss-Jordan, se emplea para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas de matrices, computar matrices en forma escalonada reducida por filas, realizar análisis multivariado en estadística y resolver problemas de procesamiento de señales y control en ingeniería.
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