Antecedentes y Relación con Otros Métodos

El Teorema del Punto Fijo de Banach, también conocido como el Teorema del Contracción de Banach, es un resultado fundamental en la teoría de espacios métricos completos. Fue introducido por el matemático polaco Stefan Banach en 1922 y establece las condiciones bajo las cuales una función tiene un único punto fijo.

Formula que lo define

Sea \({f(x)=0}\) la ecuación que se desea resolver. Se reescribe en la forma \({x=g(x)}\). Entonces: \({x_{n+1}=g(x_n)}\) es la iteración que se realiza para encontrar la raíz.

Donde:

• \(\boldsymbol{x_n}\) es la aproximación actual de la raíz.
• \(\boldsymbol{x_{n+1}}\) es la siguiente aproximación de la raíz.
• \(\boldsymbol{g(x_n)}\) es el valor de la función evaluada en la funcion auxiliar.

Algoritmo

1. Encontrar una funcion \(\boldsymbol{g(x)}\) tal que \(\boldsymbol{x=g(x)}\).
2. Escoger un valor inicial \(\boldsymbol{x_0}\).
3. Verificar que \(\boldsymbol{\left| g'(x) \right| < 1}\).
4. Iterar hasta cumplir con la tolerancia.
5. \(\boldsymbol{(x_{n+1})}\) es la aproxiamcion de la raiz.