Método de Newton-Raphson
El método de Newton-Raphson es una técnica iterativa para encontrar raíces de ecuaciones no lineales de
la forma
f(x)=0. Se basa en la aproximación de funciones mediante su derivada, utilizando la idea de que una
función puede ser localmente lineal en un punto cercano a la raíz.
La idea central del método es usar la tangente de la función en un punto inicial
para aproximar la intersección de esta tangente con el eje
x, obteniendo así una mejor estimación de la raíz. El proceso se repite hasta obtener una solución
suficientemente precisa.
Antecedentes y Relación con Otros Métodos
El método fue desarrollado por Isaac Newton en el siglo XVII y más tarde refinado por Joseph Raphson
en 1690. Originalmente, Newton lo utilizó en el contexto del desarrollo del cálculo, mientras que
Raphson formuló una versión más simple y eficiente del mismo.
Se relaciona con otros métodos de resolución de ecuaciones no lineales, como el método de
bisección, que divide el intervalo en dos partes y selecciona la que contiene la raíz. Es
más lento pero garantiza convergencia.
Método de la secante: Similar a Newton, pero reemplaza la derivada por una diferencia finita,
evitando la necesidad de calcular
f′(x).
Método de la falsa posición: Similar a la bisección, pero usando interpolación lineal en cada
iteración.
El método de Newton-Raphson es uno de los más rápidos cuando se usa correctamente, aunque requiere
una buena estimación inicial y una función diferenciable en el intervalo de interés.
Formula que lo define
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$
Donde:
- \(\boldsymbol{x_{n+1}}\) es la siguiente aproximación de la raíz.
- \(\boldsymbol{x_n}\) es la aproximación actual de la raíz.
- \(\boldsymbol{f(x_n)}\) es el valor de la función en la aproximación actual.
- \(\boldsymbol{f'(x_n)}\) es el valor de la derivada de la función en la aproximación actual.
Aplicaciones
Una aplicacion del metodo en ciencias computacionales es para resolver el modelado 3D de superficies implicitas,
que se difinen por ecuaciones del tipo \(f(x,y,z)=0\). En este caso, el metodo petmite encontrar los puntos
de interseccion o curvas de nivel donde la superficie cumple con ciertas condiciones.
Las ventajas de este metodo incluten una alta precicion, eficiencia iterativa, generalidad, aplicabilidad en multiples dimensiones
y optimizacion de procesamiento.
