El método de Euler es el procedimiento más básico para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de primer orden. Es un método explícito de un solo paso que aproxima la solución mediante lineas tangentes sucesivas, proporcionando una solución discreta punto a punto. Aunque su precisión es limitada, su simplicidad lo hace ideal para introducción a métodos numéricos y problemas donde la rapidez es más importante que la exactitud.
El método de Euler Modificado (o Euler Mejorado) es una versión refinada que utiliza un promedio de pendientes para cada paso, logrando mayor precisión que el Euler estándar. Este método predictor-corrector pertenece a la familia de Runge-Kutta de segundo orden, ofreciendo mejor estabilidad y exactitud con solo un modesto incremento en complejidad computacional comparado con el método básico de Euler.
Euler estándar: $$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$$ Donde h es el tamaño de paso y f(x,y) define la EDO dy/dx = f(x,y)
Euler Modificado: $$\begin{aligned} & \text{Predictor: } y^* = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \\ & \text{Corrector: } y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left[ f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y^*) \right] \end{aligned}$$
El método de Euler, desarrollado en el siglo XVIII, es el punto de partida de todos los métodos numéricos para EDOs. El Euler Modificado surge como primera mejora significativa, introduciendo el concepto de promediado de pendientes que luego se extendería en los métodos de Runge-Kutta. Mientras Euler tiene error O(h), el modificado alcanza O(h²), situándose entre el Euler básico y Runge-Kutta de cuarto orden en la jerarquía de métodos de solución numérica.
El método de Euler se emplea en modelado rápido de sistemas dinámicos simples, simulaciones en tiempo real donde prima la velocidad sobre precisión, y como componente educativo para introducir conceptos de solución numérica de EDOs. El Euler Modificado encuentra uso en dinámica de fluidos computacional básica, circuitos electrónicos simples, y modelos epidemiológicos donde se requiere mejor precisión que el Euler estándar sin llegar a la complejidad de Runge-Kutta de cuarto orden.
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