Método de Simpson 1/3

El método de Simpson 1/3 es una técnica de integración numérica que aproxima el área bajo la curva mediante la interpolación con polinomios cuadráticos. Requiere un número par de subintervalos y proporciona mayor precisión que la regla del trapecio al considerar la curvatura de la función. Es especialmente efectivo para integrar funciones suaves que pueden ser bien aproximadas por parábolas en intervalos pequeños.

Método de Simpson 3/8

El método de Simpson 3/8 es una extensión que utiliza polinomios cúbicos para la aproximación, requiriendo múltiplos de tres subintervalos. Ofrece mayor precisión que la regla 1/3 para ciertos tipos de funciones, particularmente aquellas con comportamiento cúbico. Ambos métodos pertenecen a la familia de fórmulas cerradas de Newton-Cotes para integración numérica.

Fórmulas que los definen

Simpson 1/3 (compuesto): $$\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4\sum_{i=1,3,5...}^{n-1}f(x_i) + 2\sum_{j=2,4,6...}^{n-2}f(x_j) + f(x_n) \right]$$ donde \( h = \frac{b-a}{n} \) (n debe ser par)

Simpson 3/8: $$\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{3h}{8} \left[ f(x_0) + 3\sum_{i=1,4,7...}^{n-2}(f(x_i)+f(x_{i+1})) + 2\sum_{j=3,6,9...}^{n-3}f(x_j) + f(x_n) \right]$$ donde \( h = \frac{b-a}{n} \) (n debe ser múltiplo de 3)

Antecedentes y Relación con Otros Métodos

Desarrollados como parte de las fórmulas de Newton-Cotes, estos métodos representan la evolución natural de las técnicas de integración numérica. Mientras que la regla del trapecio usa aproximaciones lineales, Simpson 1/3 emplea cuadráticas (exacta para polinomios hasta grado 3) y Simpson 3/8 usa cúbicas (exacta hasta grado 3). En la práctica, Simpson 1/3 es más popular por su mejor relación precisión-complejidad, reservándose 3/8 para casos especiales donde el número de intervalos es múltiplo de 3.

Algoritmo Simpson 1/3

1. Verificar que el número de intervalos n sea par
2. Calcular \( h = (b-a)/n \)
3. Inicializar suma_impar = 0, suma_par = 0
4. Para i = 1 hasta n-1:
   • • Si i es impar: suma_impar += f(a + i*h)
   • • Si i es par: suma_par += f(a + i*h)
5. Calcular integral = (h/3)*(f(a) + 4*suma_impar + 2*suma_par + f(b))

Algoritmo Simpson 3/8

1. Verificar que n sea múltiplo de 3
2. Calcular \( h = (b-a)/n \)
3. Inicializar suma1 = 0, suma2 = 0
4. Para i = 1 hasta n-1:
   • • Si i no es múltiplo de 3: suma1 += f(a + i*h)
   • • Si i es múltiplo de 3: suma2 += f(a + i*h)
5. Calcular integral = (3h/8)*(f(a) + 3*suma1 + 2*suma2 + f(b))