Método del Trapecio
Es un método numérico para aproximar integrales definidas dividiendo el área bajo la curva en
trapecios.
Pertenece a las fórmulas de Newton-Cotes y mejora la precisión respecto a métodos básicos como la
suma de Riemann
al considerar la pendiente entre puntos consecutivos.
El método consiste en:
- Dividir el intervalo \([a, b]\) en \(n\) subintervalos de igual ancho \(h\)
- Aproximar el área bajo la curva en cada subintervalo como un trapecio
- Sumar las áreas de todos los trapecios para obtener la aproximación integral
Fórmula que lo define
Regla simple del trapecio:
$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)]$$
Regla compuesta (n subintervalos):
$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)
\right]$$
donde:
$$h = \frac{b-a}{n}, \quad x_i = a + ih$$
Antecedentes y Relación con Otros Métodos
Desarrollado como parte de las fórmulas de Newton-Cotes, la regla del trapecio es el caso más simple
de cuadratura cerrada después del método rectangular. Es equivalente a:
- Interpolar con un polinomio de grado 1
- Integrar exactamente polinomios lineales
- El primer miembro de la familia Newton-Cotes (siguiente es Simpson 1/3)
Aplicaciones
La regla del trapecio es ampliamente utilizada en ingeniería, física y ciencias aplicadas para integrar
datos discretos en áreas como topografía (cálculo de áreas irregulares), procesamiento de señales
(análisis espectral), meteorología (cálculo de precipitaciones acumuladas) y economía (valor presente de
flujos irregulares). Aunque es uno de los métodos más básicos de integración numérica, sigue siendo muy
empleado por su simplicidad y eficacia con funciones suaves, especialmente en aplicaciones donde los
datos son escasos o el costo computacional debe ser mínimo. Sin embargo, para mayor precisión con
funciones complejas o grandes conjuntos de datos, frecuentemente se prefieren métodos como Simpson (para
mayor exactitud con polinomios cúbicos) o cuadratura gaussiana (para alta precisión con menos puntos de
evaluación), siendo el trapecio ideal para cálculos rápidos o cuando solo se dispone de mediciones
puntuales equidistantes.
