Método de Diferencias Divididas
Es un método numérico utilizado para encontrar un polinomio interpolante que pase exactamente por un conjunto
de puntos dados. A diferencia de otros métodos, construye el polinomio de forma recursiva utilizando
diferencias divididas, lo que lo hace más eficiente computacionalmente.
El principio básico es construir una tabla de diferencias divididas a partir de los puntos \((x_0,y_0)\),
\((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), ..., \((x_n,y_n)\), donde cada diferencia dividida se calcula recursivamente.
Esto permite expresar el polinomio interpolante en la forma de Newton, que es más eficiente para evaluar y
actualizar con nuevos puntos.
Fórmula que lo define
El polinomio interpolante se expresa como:
$$P(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x - x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x - x_0)(x - x_1) + \dots + f[x_0, \dots, x_n] \prod_{i=0}^{n-1} (x - x_i)$$
Donde las diferencias divididas se calculan recursivamente:
$$f[x_i, \dots, x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]}{x_{i+k} - x_i}$$
Antecedentes y Relación con Otros Métodos
El método de diferencias divididas es una variante eficiente de la interpolación polinómica, estrechamente
relacionado con el polinomio de Newton. A diferencia de Lagrange, que usa polinomios base explícitos, este
método aprovecha una estructura de tabla para reducir el costo computacional. Es especialmente útil cuando se
añaden nuevos puntos de interpolación, ya que no requiere recalcular todo el polinomio desde cero.
Aplicaciones
El método de diferencias divididas tiene aplicaciones en una amplia variedad de campos donde se requiere
aproximar funciones basándose en un conjunto limitado de datos. En análisis numérico se utiliza para la
interpolación de datos experimentales, en gráficos por computadora para el trazado de curvas, y en derivación
numérica cuando solo se tienen datos discretos. Su principal ventaja es la eficiencia computacional al trabajar
con muchos puntos de interpolación.
